Vi sono diversi modi di spiegare la produzione di questa forza, tutti equivalenti. Ovviamente, non sono che interpretazioni differenti dello stesso fenomeno fisico.
Interpretazione globale
Il moto relativo del velivolo rispetto all'aria interessa una certa massa di fluido. In particolare la massa d'aria per unità di tempo che investe il corpo è data dal prodotto della densità dell'aria per la velocità di volo (velocità asintotica) e per un'"area di attraversamento" che è funzione essenzialmente della forma del corpo e, in particolare per un velivolo, della superficie alare. Possiamo dunque porre:
La geometria dell'ala e la sua posizione rispetto alla velocità asintotica sono tali da indurre all'aria un'accelerazione verso il basso che generalmente risulta variabile lungo l'apertura alare.
Il valore medio della variazione della velocità verticale indotta (detta anche, tecnicamente "downwash") dipende dalla geometria dell'ala e, per piccoli angoli d'attacco, risulta all'incirca lineare con questo.
È da notare che tale deflessione del flusso verso il basso avviene principalmente grazie a quelle linee di flusso che "aggirano" il dorso del profilo alare incurvandosi in seguito verso il basso (vedi anche effetto Coanda).
Abbiamo dunque:
, ovvero
in cui: α è l'angolo d'attacco, V è la velocità di volo, mentre la costante Kv dipende ancora dalla geometria dell'ala (e in particolare, in questo caso, dall'allungamento alare).
Per la terza legge di Newton si ottiene una forza contraria alla variazione di velocità verso il basso e proporzionale alla densità dell'aria, al quadrato della velocità di volo, all'angolo d'attacco più ad un certo numero di costanti dipendenti dalla forma dell'ala (o più genericamente, dal corpo):
Nel caso dei velivoli tale forza viene generalmente scritta in una formulazione ben precisa:
in cui:
ρ è la densità dell'aria (1.225 kg/m3 al livello del mare)
V è la velocità di volo;
S è la superficie alare;
L è la forza di portanza prodotta.
CL è il coefficiente di portanza, un coefficiente adimensionale funzione della geometria dell'ala e dell'angolo d'attacco.
Il teorema di Bernoulli
La generazione della portanza può essere attribuita alla distribuzione di pressione intorno al corpo che attraversa il fluido.
Su di un'ala, la produzione della portanza è dovuta alle differenze di pressione tra il ventre e il dorso. Tale differenza di pressione genera una forza aerodinamica la cui componente ortogonale alla direzione del moto è la portanza. Più precisamente, la combinazione di angolo d'attacco, curvatura e spessore dell'ala, produce un andamento della pressione sulla sua superficie il cui risultato è una forza aerodinamica.
Tipico diagramma del coefficiente di pressione su un profilo alare. L'area compresa nella curva rappresenta la forza risultante. I valori di Cp<0 title="Vettore" href="http://it.wikipedia.org/wiki/Vettore">vettore forza aerodinamica,
L è il vettore portanza,
D è il vettore resistenza indotta,
è la frontiera del dominio d'integrazione,
p è la pressione,
n è il versore normale alla superficie.
Un possibile modo per calcolare la pressione è l'utilizzo dell'equazione di Bernoulli, che consente di legare la velocità sul profilo alla pressione.
I limiti di un tale modo di procedere risiedono nelle ipotesi a monte della scrittura dell'equazione di Bernoulli in regime incomprimibile, tra le quali ricordiamo la stazionarietà del flusso, la incomprimibilità e la assenza di viscosità.
Ciò nonostante, esso rimane un valido strumento di stima preliminare delle prestazioni di un'ala in condizioni non "estreme" (bassi angoli d'attacco, basse velocità ecc...) per la presenza di metodi ingegneristici di valutazione separata degli effetti viscosi.
L'applicazione dell'ipotesi di fluido non viscoso porta, però, ad una indeterminazione matematica e a degli assurdi fisici. Per simulare gli effetti dell'attrito e dell'inerzia (legati anche all'effetto Coanda) e chiudere il problema matematico, si impone la cosiddetta condizione di Kutta. Ad esempio, una condizione di Kutta corrisponde all'imporre che le linee di corrente divise da un profilo alare si ricongiungano in corrispondenza del bordo d'uscita.
La teoria dello stesso tempo di percorrenza
Esiste una spiegazione errata ma molto popolare, della generazione di portanza, nota come teoria dello stesso tempo di percorrenza. Infatti, si dice, poiché l'aria deve attraversare il dorso dell'ala nello stesso tempo in cui ne attraversa il ventre, l'aria che passa sul dorso deve avere una velocità più elevata, e quindi, per il principio di Bernoulli (o anche per effetto Venturi) una pressione inferiore rispetto a quella presente sul ventre.
Tale spiegazione è in genere ritenuta errata in primo luogo perché non è vero che due particelle di fluido percorrono dorso e ventre nello stesso tempo, in secondo luogo, perché spiegherebbe la differenza di pressione come generata solo dalla differenza di cammino tra dorso e ventre, portando a conclusioni paradossali.
Infatti la differenza di lunghezza tra dorso e ventre, in un profilo alare di uso comune, è troppo piccola per sviluppare una portanza sufficiente. Ciò che genera portanza, invece, è la curvatura delle linee di corrente sul profilo e la deviazione di esse verso il basso.
La teoria della circolazione
Un altro modo di spiegare la genesi della forza di portanza prende spunto da ragionamenti quasi esclusivamente matematici. Sebbene molto più precisa delle precedenti, tale dimostrazione non risulta molto intuitiva; se ne espongono qui solo i punti salienti.
La trattazione presuppone la conoscenza dei teoremi di Helmoltz di conservazione della vorticità (o, per estensione, di un tubo vorticoso in un campo fluidodinamico) e del teorema di Kutta-Joukowski, che permette di dimostrare che un corpo investito da una corrente fluida di velocità assegnata, intorno al quale esista una circolazione non nulla, subisce l'azione di una forza normale alla velocità e di verso ottenuto ruotando il vettore velocità di 90° in senso contrario al senso della circolazione stessa (vedi anche effetto Magnus).
La circolazione può essere definita come l'integrale lineare della velocità dell'aria su un "circuito" chiuso che racchiuda il corpo (ciò permette di definire la quantità di vorticità attorno al corpo).
Applicando questo discorso al caso di un profilo alare investito da una corrente fluida si ottiene la nascita di una forza "portante" (per unità di lunghezza dell'ala) diretta verso l'alto e la cui intensità è data da:
in cui ρ è la densità dell'aria, V è la velocità della corrente "asintotica", e Γ è il valore della circolazione.
È necessario però a questo punto fare alcune considerazioni:
Per Kutta-Joukowski il valore della portanza prodotto da un profilo alare in un fluido ideale è legato al valore della circolazione attorno ad esso, ma per i teoremi di Helmoltz di conservazione della vorticità, si deve dunque ipotizzare una presenza di vorticità fin dall'inizio del moto. Ma in questo stato il profilo è in quiete, il campo di moto è quindi irrotazionale e la circolazione attorno al profilo è nulla (vedi anche paradosso di D'Alembert).
Questo problema può essere superato considerando che il modello di fluido ideale è un modello limite cui si può tendere per valori sempre più bassi del coefficiente di viscosità, sebbene per un profilo alare gli effetti viscosi non possano essere trascurati anche nelle immediate vicinanze del corpo.
In effetti quando un corpo comincia a muoversi in un fluido inizialmente in quiete, il "campo" che si realizza nei primi istanti è irrotazionale, ma il fluido nelle immediate vicinanze del corpo è "reale". In particolare, nel caso di un profilo alare si forma nella parte superiore del bordo d'uscita un vortice (anche detto in questo caso vortice d'avviamento) a causa della separazione del flusso causata dall'"aggiramento" del bordo d'uscita aguzzo da parte del fluido che proviene dal ventre del profilo (vedi anche condizione di Kutta).
Durante la fase di accelerazione questo vortice, che è instabile, viene trasportato a valle e quindi "dissipato" dal moto principale del fluido.
Il vortice di avviamento, che possedeva una circolazione antioraria ha però generato in conseguenza del suo allontanamento, per il teorema di conservazione della vorticità di Helmoltz, una circolazione uguale e opposta (cioè oraria) attorno al profilo alare, che per il teorema di Kutta-Joukowski genera "finalmente" una forza (la portanza) diretta verso l'alto.
In definitiva la circolazione attorno al profilo nasce per reazione a quella associata al vortice di avviamento durante la fase di accelerazione. Nel flusso reale (dunque viscoso) durante il moto, vortici con asse parallelo alla direzione dell'apertura alare sono continuamente prodotti negli strati limite del dorso e del ventre dell'ala.
In pratica il modello di flusso ideale può ancora essere considerato valido per calcolare la circolazione attorno ai corpi ma occorre introdurre dei "vortici ideali" sulla superficie del profilo per tenere in conto la viscosità nelle immediate vicinanze del profilo e simulare le circolazioni prodotte dai vortici di avviamento.
Con tali assunzioni il flusso stazionario attorno ad un profilo alare può pertanto essere schematizzato con la sovrapposizione di un moto di flusso rettilineo uniforme e un campo di "sola circolazione" attorno al profilo.
Interpretazione globale
Il moto relativo del velivolo rispetto all'aria interessa una certa massa di fluido. In particolare la massa d'aria per unità di tempo che investe il corpo è data dal prodotto della densità dell'aria per la velocità di volo (velocità asintotica) e per un'"area di attraversamento" che è funzione essenzialmente della forma del corpo e, in particolare per un velivolo, della superficie alare. Possiamo dunque porre:
La geometria dell'ala e la sua posizione rispetto alla velocità asintotica sono tali da indurre all'aria un'accelerazione verso il basso che generalmente risulta variabile lungo l'apertura alare.
Il valore medio della variazione della velocità verticale indotta (detta anche, tecnicamente "downwash") dipende dalla geometria dell'ala e, per piccoli angoli d'attacco, risulta all'incirca lineare con questo.
È da notare che tale deflessione del flusso verso il basso avviene principalmente grazie a quelle linee di flusso che "aggirano" il dorso del profilo alare incurvandosi in seguito verso il basso (vedi anche effetto Coanda).
Abbiamo dunque:
, ovvero
in cui: α è l'angolo d'attacco, V è la velocità di volo, mentre la costante Kv dipende ancora dalla geometria dell'ala (e in particolare, in questo caso, dall'allungamento alare).
Per la terza legge di Newton si ottiene una forza contraria alla variazione di velocità verso il basso e proporzionale alla densità dell'aria, al quadrato della velocità di volo, all'angolo d'attacco più ad un certo numero di costanti dipendenti dalla forma dell'ala (o più genericamente, dal corpo):
Nel caso dei velivoli tale forza viene generalmente scritta in una formulazione ben precisa:
in cui:
ρ è la densità dell'aria (1.225 kg/m3 al livello del mare)
V è la velocità di volo;
S è la superficie alare;
L è la forza di portanza prodotta.
CL è il coefficiente di portanza, un coefficiente adimensionale funzione della geometria dell'ala e dell'angolo d'attacco.
Il teorema di Bernoulli
La generazione della portanza può essere attribuita alla distribuzione di pressione intorno al corpo che attraversa il fluido.
Su di un'ala, la produzione della portanza è dovuta alle differenze di pressione tra il ventre e il dorso. Tale differenza di pressione genera una forza aerodinamica la cui componente ortogonale alla direzione del moto è la portanza. Più precisamente, la combinazione di angolo d'attacco, curvatura e spessore dell'ala, produce un andamento della pressione sulla sua superficie il cui risultato è una forza aerodinamica.
Tipico diagramma del coefficiente di pressione su un profilo alare. L'area compresa nella curva rappresenta la forza risultante. I valori di Cp<0 title="Vettore" href="http://it.wikipedia.org/wiki/Vettore">vettore forza aerodinamica,
L è il vettore portanza,
D è il vettore resistenza indotta,
è la frontiera del dominio d'integrazione,
p è la pressione,
n è il versore normale alla superficie.
Un possibile modo per calcolare la pressione è l'utilizzo dell'equazione di Bernoulli, che consente di legare la velocità sul profilo alla pressione.
I limiti di un tale modo di procedere risiedono nelle ipotesi a monte della scrittura dell'equazione di Bernoulli in regime incomprimibile, tra le quali ricordiamo la stazionarietà del flusso, la incomprimibilità e la assenza di viscosità.
Ciò nonostante, esso rimane un valido strumento di stima preliminare delle prestazioni di un'ala in condizioni non "estreme" (bassi angoli d'attacco, basse velocità ecc...) per la presenza di metodi ingegneristici di valutazione separata degli effetti viscosi.
L'applicazione dell'ipotesi di fluido non viscoso porta, però, ad una indeterminazione matematica e a degli assurdi fisici. Per simulare gli effetti dell'attrito e dell'inerzia (legati anche all'effetto Coanda) e chiudere il problema matematico, si impone la cosiddetta condizione di Kutta. Ad esempio, una condizione di Kutta corrisponde all'imporre che le linee di corrente divise da un profilo alare si ricongiungano in corrispondenza del bordo d'uscita.
La teoria dello stesso tempo di percorrenza
Esiste una spiegazione errata ma molto popolare, della generazione di portanza, nota come teoria dello stesso tempo di percorrenza. Infatti, si dice, poiché l'aria deve attraversare il dorso dell'ala nello stesso tempo in cui ne attraversa il ventre, l'aria che passa sul dorso deve avere una velocità più elevata, e quindi, per il principio di Bernoulli (o anche per effetto Venturi) una pressione inferiore rispetto a quella presente sul ventre.
Tale spiegazione è in genere ritenuta errata in primo luogo perché non è vero che due particelle di fluido percorrono dorso e ventre nello stesso tempo, in secondo luogo, perché spiegherebbe la differenza di pressione come generata solo dalla differenza di cammino tra dorso e ventre, portando a conclusioni paradossali.
Infatti la differenza di lunghezza tra dorso e ventre, in un profilo alare di uso comune, è troppo piccola per sviluppare una portanza sufficiente. Ciò che genera portanza, invece, è la curvatura delle linee di corrente sul profilo e la deviazione di esse verso il basso.
La teoria della circolazione
Un altro modo di spiegare la genesi della forza di portanza prende spunto da ragionamenti quasi esclusivamente matematici. Sebbene molto più precisa delle precedenti, tale dimostrazione non risulta molto intuitiva; se ne espongono qui solo i punti salienti.
La trattazione presuppone la conoscenza dei teoremi di Helmoltz di conservazione della vorticità (o, per estensione, di un tubo vorticoso in un campo fluidodinamico) e del teorema di Kutta-Joukowski, che permette di dimostrare che un corpo investito da una corrente fluida di velocità assegnata, intorno al quale esista una circolazione non nulla, subisce l'azione di una forza normale alla velocità e di verso ottenuto ruotando il vettore velocità di 90° in senso contrario al senso della circolazione stessa (vedi anche effetto Magnus).
La circolazione può essere definita come l'integrale lineare della velocità dell'aria su un "circuito" chiuso che racchiuda il corpo (ciò permette di definire la quantità di vorticità attorno al corpo).
Applicando questo discorso al caso di un profilo alare investito da una corrente fluida si ottiene la nascita di una forza "portante" (per unità di lunghezza dell'ala) diretta verso l'alto e la cui intensità è data da:
in cui ρ è la densità dell'aria, V è la velocità della corrente "asintotica", e Γ è il valore della circolazione.
È necessario però a questo punto fare alcune considerazioni:
Per Kutta-Joukowski il valore della portanza prodotto da un profilo alare in un fluido ideale è legato al valore della circolazione attorno ad esso, ma per i teoremi di Helmoltz di conservazione della vorticità, si deve dunque ipotizzare una presenza di vorticità fin dall'inizio del moto. Ma in questo stato il profilo è in quiete, il campo di moto è quindi irrotazionale e la circolazione attorno al profilo è nulla (vedi anche paradosso di D'Alembert).
Questo problema può essere superato considerando che il modello di fluido ideale è un modello limite cui si può tendere per valori sempre più bassi del coefficiente di viscosità, sebbene per un profilo alare gli effetti viscosi non possano essere trascurati anche nelle immediate vicinanze del corpo.
In effetti quando un corpo comincia a muoversi in un fluido inizialmente in quiete, il "campo" che si realizza nei primi istanti è irrotazionale, ma il fluido nelle immediate vicinanze del corpo è "reale". In particolare, nel caso di un profilo alare si forma nella parte superiore del bordo d'uscita un vortice (anche detto in questo caso vortice d'avviamento) a causa della separazione del flusso causata dall'"aggiramento" del bordo d'uscita aguzzo da parte del fluido che proviene dal ventre del profilo (vedi anche condizione di Kutta).
Durante la fase di accelerazione questo vortice, che è instabile, viene trasportato a valle e quindi "dissipato" dal moto principale del fluido.
Il vortice di avviamento, che possedeva una circolazione antioraria ha però generato in conseguenza del suo allontanamento, per il teorema di conservazione della vorticità di Helmoltz, una circolazione uguale e opposta (cioè oraria) attorno al profilo alare, che per il teorema di Kutta-Joukowski genera "finalmente" una forza (la portanza) diretta verso l'alto.
In definitiva la circolazione attorno al profilo nasce per reazione a quella associata al vortice di avviamento durante la fase di accelerazione. Nel flusso reale (dunque viscoso) durante il moto, vortici con asse parallelo alla direzione dell'apertura alare sono continuamente prodotti negli strati limite del dorso e del ventre dell'ala.
In pratica il modello di flusso ideale può ancora essere considerato valido per calcolare la circolazione attorno ai corpi ma occorre introdurre dei "vortici ideali" sulla superficie del profilo per tenere in conto la viscosità nelle immediate vicinanze del profilo e simulare le circolazioni prodotte dai vortici di avviamento.
Con tali assunzioni il flusso stazionario attorno ad un profilo alare può pertanto essere schematizzato con la sovrapposizione di un moto di flusso rettilineo uniforme e un campo di "sola circolazione" attorno al profilo.
